第三百三十二章：計數器
反正現在也做不了別的事情，便又從「高於ω的集合設定」那一部分繼續攀登沖往「無限」的漫長道路——
……為了更好地理解集合的大小，我們定義一個k，把小於k的一定數量（小於k的數量）的數加在一起還是不如k大——＜與+均是小學數學課本上的內容，如果大家都長大成人了想必已對此會有更不一般的見解。
小於k的基數的下一個基數仍小於k——弱不可達就是指這種情況。小於k的基數的取冪后的基數也小於k——強不可達就是指這種情況。在連續統假設成立的情況下就無所謂強弱之分了。
接下來就稍微進階下，讓我們設置一個計數器——φ，φ的作用就是計數，數數應該是幼稚園就有的概念了。φ的功能就是在（）中顯示不可達基數的個數，比如φ（1）就是數到第一個不可達基數，φ（2）就是數到了第二個不可達基數。因為阿列夫0對於小於它的數滿足了上述條件，所以φ（1）就數到了阿列夫0；而下一個不可達基數則對小於它的數（包括阿列夫0）也滿足了上述條件，所以φ（2）就數到了它；φ（3）同理……
就在這個計數器不停的數啊數啊數，數了好久好久，不知道是不是累了還是咋地迷糊了，數到k時，有φ（k）=k。對於大到這麼特別地不可達基數，我們決定給他頒個勳章，名稱前綴個1-，也就是1-不可達基數。當然，還不止如此，作為特別款待，我們將用特別版的計數器來為其計數，也就是φ_1，有個特別的點綴。φ_1（1）數到的就是最開始遇到的那個1-不可達基數。
就在這個計數器不停的數啊數啊數，數了好久好久，不知道是不是累了還是咋地迷糊了，數到k時，有φ_1（k）=k。對於大到這麼特別地不可達基數，我們決定給他頒個勳章，名稱前綴個2-，也就是2-不可達基數。就這麼頒獎下去啊，我們就有了一系列α-不可達基數。直到有一天，我們的計數表爆表了！
這裏說的爆表當然不是說計數器數不下去了，而是勳章多的裝不上去了。為什麼會這樣呢？因為我們的計數器已經數到頭昏眼花，數到了φ_k（k）=k。不得已，對於大到這麼獨特的不可達基數，我們決定給他頒個榮譽證書，冠名為超不可達基數。對於超不可達基數，我們決定換個豪華版計數器——Φ。
不過即使是Φ，也有數的頭暈腦脹的時候，遇到了Φ（k）=k。不過豪華版就是豪華版，即使到了這一步我們還是可以給它頒個勳章了事。但可恨的是，Φ終究也有數到神志不清的一天，遇到了Φ_（k）=k，不得已，我們只能用超豪華典藏版來數這些超-超不可達基數。
但奈何啊，超豪華典藏版依舊重蹈覆轍，以至於我們都開始用φ來計數倒下了多少個計數器了。於是最終還是放棄了，因為φ又雙叒叕數倒下了。好了，小學生的故事就到此結束！
「（還是在解釋疊代，不過敘述要比之前簡單一些了，適合數學基礎比較薄弱的一類人吧……）」
……再稍微進階下，可以對φ作擴展成φ_0_0以用φ_1_0等同Φ的計數能力，φ_1_1等同Φ_1的計數能力。為了簡潔，我們也可以表示成φ（x，y），或進一步擴展為φ（x，y，z，……），並以φ_k（x，y，z，……）表示（x，y，z，……）含k元變元，然後再進一步擴展為φ_（x，y，z，……）（x，y，z，……）……至於後面的高維擴展還是啥的隨便你們玩了。
但玩的時候需要注意的是，計數器之所以能計數，還是因為有數可計，在ZFC中你不可能因為已有的正則極限基數就執行{n是第n個正則極限基數|n∈ω}。而在ZFC+存在不可達基數中，也僅包含宣告存在的不可達基數，下一個不可達基數都是不可達的，除非你添增一套公理模式，能夠將ZFC設計的計數器的計數都作為公理加入。
不過最好的方式還是，設計一個全新的大基數公理，比如回到最開始，k中不可達基數構成的集合為k中的駐集，這樣在k中就足夠計數器數了。何以？因為不可達基數本身的不可達性（跨越度），使得一系列不可達基數的極限總不會是不可達基數，或者說，僅含n個「不可達基數」的宇宙總是存在的。所以，這種k的存在是比不可達基數（對於其下集合而言可以充當全域）更為可疑的了。但既然開啟了這一步，那就沒什麼可以阻止該定義的推廣了。比如，這種k的集合亦在某個K中構成駐集，然後前綴1-。所謂k的集合在K中構成駐集的意思是，K的一部分加起來等於K，並且這一部分的一部分加起來得到的數也屬於這一部分。k為不可達基數的話就是，不僅K中的k加起來等於K，一部分k加起來也是k。
k的集合在K中構成駐集，本質上就是將K的子集劃分為大的與小的兩類，而所謂的駐集即是不屬於小的那類的子集，可以說你已經簡單的懂得了濾的觀念，接下來就來進入下一個濾吧！
令μ為一個檢測器，把它當做跟戰鬥力檢測器差不多的玩意，只是只能顯示1或0，權當大和小來理解就夠了。所謂k上的測度就是這麼個情況：
μ（k）=1；k作為自身的子集當然是屬於大的一類了。對任意x∈k，μ（{x}）=0；作為k的元素，該元素的集合當然也是k的子集，但這種子集連等勢都不等上，當然是屬於小的一類了。對任意XY，μ（X）≤μ（Y）；顯而易見，X作為Y的子集，Y的值不可能會小於X，最多大家一樣。
對任意兩兩不相交的子集族{Xi|i∈ω}，其並的測度（μ（∪{Xi|i∈ω}））等於其分別測度之和；顯然，1+1=2，而μ只能顯示1和0，所以明擺着是說k中任意兩兩不相交的子集族都是戰0渣。是不是很簡單？動腦想下不難發現，阿列夫零上就具有這樣的測度，對於具有這種測度的基數我們稱之為可測基數。
而不可數的可測基數，則打破了可構造公理的神話，不為來自現象學的辯護支持，亦不被形而上的絕對無窮涵蓋，是大基數中的一道里程碑，大大基數的分水嶺，現代數理邏輯真正關注的大基數由此開始。可以說，上述的那些極大性之於可測基數都微不足道。但其實光有二值測度的確不夠直觀，還是需要加下非主超濾配合來看的。這裏有張圖會比較直觀地展現：
那麼定義k上的濾子U是一個超濾子，當且僅當對任意Sk，要麼S∈U，要麼S的補集∈U。直觀上，屬於U的集合是大的集合，自然地，補集為大的集合的集合就是小的集合。可以說超濾子將k的所有子集劃分為大的和小的，而稱U是主超濾子，當且僅當存在x∈k使得U={Sk|x∈S}。此外，稱U是k-完全的，當且僅當＜k個大的集合的交集仍然是大的。因此，如果稱一不可數基數是可測基數，那麼當且僅當存在k上的＜k-完全非主超濾子。
「（完蛋，我就知道扯到後面肯定會有一堆我看不懂的符號，看來我也就小學生水平了么？）」
那麼如何理解不可達基數？遞歸的定義超窮基數：令0=ω，a+為ON中所有基數大於a的α之交，也就是基數比a大的所有序數中最小的序數。不難看出，對於任意序數均可定義一個超窮基數，而所有超窮基數的類是ON的子類，儘管它倆的長度一樣長。
也甭管阿列夫一是怎麼大於阿列夫零了，反正存在大於阿列夫零的基數然後我們管其中最小的那個叫阿列夫一，第二個叫阿列夫二。現在我們已經知道每個基數都是序數，假設k是一個基數而α是一個序數，如果存在函數f:α→k，使得α在f下的像在k中無界，就稱f是α到k的共尾映射，也稱α是k的共尾數，特別地，k最小的共尾數記為cf(k)。
所謂的無界即對於任意小於k的β，都存在α在f下的像ξ大於β。所以，f反映的是k是否可以通過長度為α的序列從下面抵達k。顯然，cf(k)≤k。如果cf(k)＜k，就稱k是奇異基數；如果cf(k)=k，就稱k為正則基數。
例如：對於任意自然數n，令f(n)=n，則f:ω→ω是共尾映射，所以ω是一個奇異基數。相反，1是一個正則基數，畢竟可數個可數集的並仍是可數的。事實上，我們可以證明所有後繼基數都是正則的，故而，所有奇異基數都是極限基數。反過來，在極限基數中我們只知道ω是正則的。那自然的問題就是：「是否存在不可數的正則極限基數？」而「存在不可數的正則極限基數。」這也就是斷言不可達基數存在的公理了。
