第二百三十七章：無窮多個無窮

「我了個去，印度大巴嗎這是？！」

「但經理又繼續向鮑勃介紹他的無限旅館，說這種旅館不僅僅可以繼續接受像鮑勃這樣一個一個來報到的新客人，即使是一次來了『無限多』個的客人，只要是可數可編號，他也有辦法讓他們住進來……」

「可以呀！有點意思……」此時男主也不吐槽理論本身了，就乾脆安安分分地繼續聽。

「對無限多個新客人，經理將原來1號房間的客人移到2號房間，2號房間的客人移到4號房間，3號房間的客人移到6號房間，也就是說，將原來第n號房間的客人移到第2n號房間去……這樣移動的結果將會空出所有的奇數號碼的房間，也就是無限多個房間，這樣便能住下無限多新來的客人了。」

「這個……哦，我懂了，我好像曾經聽說過奇數、偶數，還有全體自然數的個數是一樣多的，也是因為你之前所說的一一對應的關係，『部分少於整體』這種理論在無窮集合的數學理論中竟然不一定是正確的了。」

「沒錯，而且還可以繼續下去，這時外面又同時來了無限多輛大巴，而每輛大巴都載了無限多個客人，但經理也依然有辦法解決他們的住房問題……」

「啊？這可又怎麼弄啊？」尹浩眼中閃過一絲慌亂。

「也是在這時，經理的電話鈴響了，原來是他的老闆提醒他，說是對於『無窮多』輛車，每輛車還有『無窮多』個人的這種情況，就稍微不是那麼好辦了，要加上一些條件：這些人要是可數的，預先按座位進行編號。於是，經理眨眨眼睛，繼續向鮑勃繼續解釋道：『這無窮大的學問很大，無限大可以進行分類，是用『勢』來比較大小，所有的東西給你解釋一天也解釋不完啊！』不過對於無限個大巴且每個大巴有無限客人倒是不難解決，經理又讓原來的旅客1號房間客人搬到2號，2號房間客人搬到4號……n號房間客人搬到2n號。這樣，跟前面一樣1號，3號，5號……所有奇數房間就都空出來了。」

「但然後呢？這次可是無窮多個無窮多啊！」

「這也不難啊！不過只是用到乘法的增長率罷了。經理再把所有大於2的質數取出來，因為質數的數量也是無窮的嘛！再把第一輛大巴用第一個大於2的質數，也就是3代替，所以第一個客人安排到3號房間，而第二個客人安排到3的2次方，也就是9號房間，第二個客人安排到3的3次方，也就是27號房間，以此類推，第n個客人安排到3的n次方號的房間。然後把第二輛大巴用第二個大於2的質數，也就是5代替，所以第一個客人安排到5號房間，而第二個客人安排到5的2次方，也就是25號房間，第二個客人安排到5的3次方，也就是125號房間，以此類推，第n個客人安排到5的n次方號的房間。接著第二輛大巴用第三個大於2的質數，也就是7代替，所以第一個客人安排到7號房間……剩下的你也應該知道怎麼操作了吧？」

「我了個天……所有大於2的質數確實都是奇數，他也剛好把奇數號碼全空出來了，而那些奇質數的冪運算結果也都是奇數，並且因為是質數，所以這些質數的冪運算也都不會相等，那就剛剛好又能一一對應了。妙哇，妙哇……」男主這下是徹底服了，心想這個旅館的經理和老闆原來都是數學家啊！

「另外，經理還說了一種辦法。還能夠通過客車的車牌號與客人的座位號來解決這一問題。先將旅館設為第0號客車，然後將車牌號與座位號交替書寫，即能得到客人的房間號碼。如果客人是在1729號房間則移動到01070209號房間，如果客人是在198號客車上的4935座則移到第4199385號房間。」

「數學強者，果然是恐怖如斯！」男主恍然大悟地倒吸一口熱氣。

「於是乎呢鮑勃也想起了數學，才記起歷史上有個名字叫做希爾伯特的大數學家，好像有個什麼旅館悖論以他命名，鮑勃說：『這是不是叫做希爾伯特悖論啊？』經理說：『是有這麼個說法，但這並不是什麼悖論，數學邏輯上並無矛盾之處。只是充分說明了無限集合的性質與有限集合的性質完全不相同。』鮑勃想起了著名的芝諾悖論，認為數學家都喜歡狡辯，不過鮑勃也喜歡狡辯，他對經理說：『你這個『無限』，不過是個數學上的概念，它與事實是不符合的。你看，你這個旅館佔地面積有限，怎麼可能容納下無限多個房間呢？就算不是邏輯上的悖論，也可算是一個與實際情況不相符合的『佯謬』吧？』經理哈哈大笑：『你又錯了吧，佔地面積雖然有限，往空中可是能無限發展啊……不管怎麼樣，趕快去你的1號房間休息吧！……」

「那這就可不對了，房屋結構強度，還有宇宙大小其實也是有限的啊！真的要糾結真實性的話，首先根本就不可能有無限多的人啊！」

「沒錯，就像我之前所說的，過去的現實物理世界中並不可能存在無窮大。而且鮑勃最近在學校也剛好修了一門很難的物理課，老師講到『狄拉克海』。鮑勃記起那位教授當時對真空狄拉克海的描述和這兒的無限旅館永遠能接受新客人的概念有某些類似的地方。鮑勃好像有所感悟，無限大集合加上一些元素，還是無限大集合。『狄拉克海』就是這麼一個無限大的電子海洋，加上幾個電子，減少幾個電子，絲毫不影響這個無限大真空的性質。鮑勃躺到床上，迷迷糊糊進入夢鄉，腦袋中還在轉悠著『有限』、『無限』……好了，到這裡我就基本講完了，這個故事有沒有給你什麼啟發？」

「啟發倒是還好，我就是在想啊，這一問題雖然被鮑勃稱作『悖論』，但事實上它並不矛盾，而僅僅是與我們直覺相悖而已。在有無限個房間時，『每個房間都客滿』與『無法入住新的客人』兩者其實並不等價。」

「是的，無限集合的性質與有限集合的性質並不相同。對於擁有有限個房間的旅館，其奇數號房間的數量顯然總是小於其房間總數的。然而，在希爾伯特所假想的這一旅館中，奇數號房間數與總房間數是相同的。在數學上可以表述為包含所有房間的集合的勢與包含所有奇數號房間的子集的勢相同。事實上，無限集合都擁有這樣的特點，所有無限集合都與它的某些子集的勢相同。對於可數集，不管是奇數、偶數、質數、自然數，以及自然數之比，其勢記都可以記為……」

「阿列夫零？」尹浩瞬間就想起了那天晚上查找《烏合之眾象棋》資料時，裡面確實提到的這個東西，聯繫到「硅腦袋」這番故事的講解，他便瞬間豁然開朗了，但轉瞬之間又再次被迷雲籠罩：「那後面我記得她還有說什麼阿列夫一，阿列夫二呢？又指代什麼？」

「這些我先不詳細展開，就簡單告訴你吧！阿列夫一可以指代任意區間或數軸上的所有實數，也可以指代任意長度或點線面體中所有點的數量，這些都是不可數的，自然就遠遠多於阿列夫零，勢也就更高。」

「這個就沒辦法一一對應了嗎？有自然數之比去對應所有實數？」

「不是沒辦法是真的不行，先不說更號2，圓周率這些無限不循環小數無法用整數比去構建了。不論你如何構造一個小數，我都可以一位一位去對，就是跟你不一樣而得到一個你那串里沒有出現的小數，所以無理數的『無限大』實際上也比分數的無限大要大。」

「這樣啊……就是對於已有的數字找茬抬杠嘛！那阿列夫二呢？」尹浩似乎找到了一個杠能抬一抬。