d    “接下來，我要講的，便是我從希門主、從歌庭派的工作當中學習得的最重要的概念！形式化。”

    王崎這話一出口，算君的眉頭就多出一道溝壑。

    而在他身后，更多的少黎派算家幾乎出離的憤怒了。

    算主希柏澈一生當中有無數的成就。但是，他在算學本質的看法之上卻廣為人詬病，絕大多數算家都難以接受。

    在算主看來，算學的本質，就是“形式”。單獨的符號不存在任何意義。那些符號排列的“形式”才是算學。

    這就好比說“1+1=2”這個最初公式里，“1”、“+”、“=”、“2”這幾個符號都是無意義的，而只有那個完整等式在具有數學意義。

    而另一邊，歌庭派的諸多算家也心情復雜。他們臉上露出了詭譎的表情，夾雜著迷惘、憤怒。

    “形式”的理念包含了一致性、完備性、可判定性。可謂是算主希柏澈、一生的理想喻最大的追求。

    而否定這份理想的，正是王崎本人。

    王崎使用算主的思路，否決了算主的追求，也否定了歌庭派數十年的努力。

    但是，這種種復雜的心緒并沒有影響到王崎。

    王崎明白，現在他代表的，不是他自己，而是“正確”。

    自我指涉并不是一個數學的描述——它確實是屬于邏輯，但是否屬于數學還有待商榷，并非是所有的數學家都承認這一點。地球也好，神州也好，都有這樣的跡象。

    “這一陳述無法證明”，并非狹義上的數學陳述。

    哥德爾證明方法的第二步，就是將這個非數學的陳述或者說準數學的陳述，轉化為一個數學的陳述。

    地球將之稱為——“哥德爾數化”。

    ——或許在神州，它會叫做“王崎數化”吧？

    “一般人在理解這不完備的時候，很容易就陷入一重重自我參照的迷霧之中。難以自拔。我猜想，這大約是與康前輩的對角線證法、無窮基數違反我等天生直覺有關。也正是這一重原因，所以千百年來，我們的前輩們才會對這一重道理視而不見。”

    “而非要解開這一重迷霧。就必須使用這種形式化的方法。”

    王崎雙手放出金光，幻化出重重光幕，無數算符在上面飛舞，排列，羅列著一個偉大的證明。

    哥德爾證明不完備定理的第二部分。也是其最偉大的部分，就在這里。

    “任何公理系統，所運用的算符，所能夠存在的公理，都是有限的。因此，這些公理、這些算符所能夠羅列出的陳述，也必定是可數的——無窮可數、道元數零、自然數的個數。就是這么描述的。”

    “而這些有可能的陳述，其長度也必然是可數的。而既然還在可數無窮的范疇之內，我們就可以用自然數給它編號。每一個編號都是獨一無二的。”

    “然后，我們就可以建立一個集合‘中天’。這個集合‘中天’，便是包括了所有有可能陳述的‘編號’。一個公理系統之內，所有有可能的陳述，都必定在這個編號之內。”

    ……

    講道進行到這里的時候，已經開始脫離絕大多數人所能夠理解的范疇了。什么“可數無窮”，什么“基數”、“序數”。這些都已經超過他們的理解范疇了。

    就連顯身現場聽王崎講道的那些逍遙修士，也有幾個露出了迷惘之色。

    這個少年所說的每一步，他們都可以理解。但是，這些東西湊到一起之后，究竟有什么數學意義？

    完全不明白！

    更多借助萬仙幻境收看這“直播”的今法修。則紛紛頭昏腦漲。這看似簡單的證明，似乎包含著無窮的魔力，仿佛要將他們的思維拖向一個深淵。

    馮落衣不得不嘆了口氣，以“字幕”的方式。向所有通過直播觀看的修士進行解釋。

    這個數化的過程，說白了就是“映射”。

    把算術系統中的符號、表達式和表達式的序列都映射為數——通過引進“哥德爾數”而實現了對象的數化手續。這樣處理的結果，對于數理邏輯和其他有關分支來說，在研究方法上就提供了一種數字化工具，能夠方便地把一些討論對象轉換為自然數或自然數的函數，能夠用自然數的理論來討論有關問題。

    將一個準數學的陳述轉變為一個具有數學意義的陳述。

    這就是這個“數化”的意義所在。

    而當這個證明進入第二階段的后半段時。歌庭派陣中，艾克蠻輕輕嘆息：“原始遞歸式啊……”

    他的表情當中包含著十足的惋惜與悔恨。

    ——我也研究過這個領域啊……若是我當年能夠再深入一點，會不會就能夠避免了今日的劫難？

    有幾個歌庭派的修士立刻發來私聊：“艾兄，你對這個領域有研究？能不能在這一步絆王崎一絆？”

    艾克蠻苦笑搖頭。王崎這一步并沒有做錯。他能夠將對的說成是錯的嗎？

    同時，他也下定決心，回去就仔細研究這個往日并不被重視的領域，

    當然，在場的人并不知道，這個數化的證明還有超過其本身的意義。

    它同時也是遞歸論的源泉。

    而遞歸論，正是現代邏輯學的最重要分支之一。

    到了這個地步，王崎的證明也進入了尾聲。

    王崎最后一次揮動雙手。算符排列成了不完備定理的證明。

    “這就是全部的過程。”

    全場寂靜無聲。

    算學在這一刻走向了死亡。

    “一致性與完備性不可兼得，算學無矛盾而不完備……”收看直播的許多萬法門弟子，幾乎哭了出來。

    王崎講完不完備定理的證明之后，便到講壇的邊緣靜坐片刻。今日的講道，便是分成了四個部分。前一個部分，講的乃是不完備定理，接下來的一個部分，講的則是不可判定定理。

    然后，才是提問與總結的時間。

    那些逍遙修士，也需要一定的時間來吸收、理解這些東西。

    他閉目養神，似乎完全感覺不到周圍那些巔頂大修加之于他身上的惡意。

    就算舉目皆敵又何妨？這里是求道者的領域，而非斗法的場合。任你說破大天，也不可能將正誤逆轉。

    短暫的休息之后，王崎重新走回講壇的中央。因為短暫修整而出現的竊竊私語聲也漸漸消失。無數修士的注意力就集中到了王崎身上。

    如同一條又一條的毒蛇，在尋找獵物的要害，力圖一擊斃命。

    王崎繼續開講道：“在講完了‘不全’之后，我們再來說一說‘無非’——也就是不可判定定理。”

    “不可判定定理的前一部分和和不完備定理一樣，都是‘自我指涉’，這里我便不再贅述。我下面就直接進入不可判定定理證明的第二個部分。”

    “首先，在這里，我需得感謝圖靈真人，感謝他在這個問題上對我的幫助，也感謝他提供的一種等價證明法。”

    “首先，我要介紹的第一種證明法，是我自己提出的，是借助狹義圖靈算器的機制……而第二個部分，圖靈真人稱之為‘萬法萬象式’。它是根據不完備定理而構造出的，一個完備而不一致的算法。”

    這也是王崎和圖靈真人商量好的部分。

    狹義圖靈算器和萬法萬象式——也就是圖靈機和λ算法，和不完備定理證明后半段的第二階段一樣，有著超越這個證明本身的潛力。它們在后世，各自發展出了枝繁葉茂的道路。

    圖靈真人也很高興，自己那個不大看得上的定理能夠被傳揚。王崎也需要一些逍遙修士表示支持，讓自己顯得不是那么勢單力薄，好讓更多的算家能夠追隨自己，開創算學的新天地。

    二人可以說是一拍即合。

    不可判定定理的證明過程，和那不完備相比，顯得要好處理很多。尤其是第一個部分，圖靈機證明。這個故事，幾乎就是和王崎之前講述的“傀儡審官”，還有蜃戲《銀翼刺客》一脈相承的。

    不少不屬于萬法門的修士，尤其是那些以“文藝”、“小說家言”為修持之法的小門派，都聽得津津有味。他們聽不懂王崎的理論，理解不了王崎理論背后的數學意義。但是，他們能聽懂故事！他們的腦海當中幾乎浮現出了無窮的故事。

    可以預見，在未來的一段時間里，“傀儡人”將成為說書人口中的熱門題材。

    而還沒有崩潰的萬法門弟子，對第二種方法顯出了更大的興趣。

    薄笑風整個人都處在一種懵逼的狀態。“完備但是自相矛盾的系統”？這種東西真的存在？這里面有什么算學意義嗎？

    王崎的講述，自午時始，自酉時而鐘。當酉時的鐘聲在神州大地敲響的時候，這次講道，也進入了末尾。

    “綜上所述，我們可以做出這樣的證明……”王崎深吸一口氣，講出了最后的兩句話。

    “我想，我們可以自豪的宣布，希門二十三問當中最關鍵的第二問，第十問已經個圓滿解決了。算理基礎當中，最重要的一致性、完備性、可判定性證明，也已經完成。”

    “算學，便要進入一個新的時代了。”

    無人鼓掌。

    但是，所有人感覺——一場革故鼎新的變動，或許真的要來了……(未完待續。)c